利用 MAX-CUT 进行三角形的 Ramsey 箭指
组合数学
2013-03-22 v2 离散数学
摘要
1967 年，Erd\H{o}s 和 Hajnal 提出了一个问题：是否存在一个不含 且不能表示为两个无三角形图之并的图？寻找这样的图涉及解决经典 Ramsey 箭指运算的一个特例。Folkman 于 1970 年证明了这类图的存在性，它们现在被称为 Folkman 图。Erd\H{o}s 曾悬赏 100 美元以判定是否存在顶点数少于 的此类图。该问题直到 1988 年仍未解决，当时 Spencer 在一篇开创性论文中利用概率技术证明了阶数为 （勘误后）的 Folkman 图的存在性，但未显式构造它。2008 年，Dudek 和 R"{o}dl 提出了一种通过近似相关图的最大割来构造新 Folkman 图的策略，并将上界改进至 941。我们首先利用他们的近似技术将此上界改进至 860，随后利用 Goemans-Williamson 算法中使用的 MAX-CUT 半定规划松弛进一步将其改进至 786。
引用
@article{arxiv.1207.3750,
title = {Use of MAX-CUT for Ramsey Arrowing of Triangles},
author = {Alexander Lange and Stanisław Radziszowski and Xiaodong Xu},
journal= {arXiv preprint arXiv:1207.3750},
year = {2013}
}