关于 3-可着色图和含大独立集图的最大割问题的近似性

最大割问题是一种经典的图划分问题，给定图 $G = (V,E)$，目标是找到一个割 $(S,S^c)$ 以最大化跨割边的数量。在某项重要工作中，Goemans 和 Williamson 提出了一个约为 0.87856 的近似算法，该算法的紧度随后被 Khot、Kindler、Mossel 和 O'Donnell 的工作所证实。此后，人们在更细粒度上理解最大割问题的可近似性，核心目标之一是探讨底层图结构如何影响最大割问题的可近似性。本文通过探讨图的色度结构对最大割问题的影响来回应这一问题。虽然众所周知，最大割问题在 2-可着色图和接近 2-可着色图上可在多项式时间内求解完美或近似解，但本文则探讨其在更弱结构条件下的可近似性，例如图为 3-可着色或包含大独立集。我们的主要贡献如下：1. 我们证明对于 3-可着色图，最大割问题是 $\alpha_{GW}$-硬的。2. 我们识别出一个自然阈值 $\alpha^*$，使得以下结论成立：首先，对于包含独立集大小至多为 $\alpha^*$ 的图，最大割问题仍是 $\alpha_{GW}$-近似因子难以近似。进一步地，对于任何包含独立集大小大于 $\alpha^*$ 的图，都存在一个有效的大于 $\alpha_{GW}$ 的近似算法用于求解最大割问题。我们的硬性结果基于多种分析工具和新型的多数居中定理变体，这些方法可能本身也具有独立的兴趣。我们的算法结果基于一种新的 SDP 松弛，然后通过区间算术进行圆形化和分析。