Folkman 数 $F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$ 的下界

对图 $G$,表达式 $G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$ 意指对 $G$ 顶点的每个 $s$-染色,存在 $i \in \{1, ..., s\}$ 使得有一个颜色为 $i$ 的单色 $a_i$-团。考虑顶点 Folkman 数 $$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = \min\{\vert V(G)\vert : G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) \mbox{ and } K_{m - 1} \not\subseteq G\}.$$ 其中 $m = \sum_{i = 1}^{s}(a_i - 1) + 1$。当 $\max\{a_1, ..., a_s\} \leq 6$ 时我们已知所有数 $F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$ 的精确值,以及数 $F_v(2, 2, 7; 8) = 20$。在 \cite{BN15a} 中我们给出了获取这些数下界的方法。借助该方法与一种新改进的算法,在 $\max\{a_1, ..., a_s\} = 7$ 的特殊情形下,我们证明 $F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) \geq m + 11$,且该界对所有 $m$ 精确。这些数的已知上界为 $m + 12$。文末我们还证明了下界 $19 \leq F_v(2, 2, 2, 4; 5)$ 与 $29 \leq F_v(7, 7; 8)$。