论某些广义 Folkman 数的不存在性

对于无向简单图 $G$，当且仅当对其顶点进行任意红蓝着色时存在红色 $H_1$ 或蓝色 $H_2$，我们记为 $G \rightarrow (H_1, H_2)^v$。广义顶点 Folkman 数 $F_v(H_1, H_2; H)$ 定义为最小的整数 $n$，使得存在一个阶为 $n$ 的 $H$-free 图 $G$ 满足 $G \rightarrow (H_1, H_2)^v$。当考虑边着色时，广义边 Folkman 数 $F_e(H_1, H_2; H)$ 可类似定义。我们证明 $F_e(K_{k+1},K_{k+1};K_{k+2}-e)$ 和 $F_v(K_k,K_k;K_{k+1}-e)$ 对于 $k \geq 3$ 是良定义的。我们证明了对于某些 $H$，$F_e(K_3,K_3;H)$ 不存在，特别是对于 $H=B_3$（其中 $B_k$ 是具有 $k$ 个三角形页的书图）以及 $H=K_1+P_4$。我们提出了三个关于广义 Folkman 数的问题，包括边 Folkman 数 $F_e(K_3, K_3; B_4)$、$F_e(K_3, K_3; K_1+C_4)$ 和 $F_e(K_3, K_3; \overline{P_2 \cup P_3} )$ 的存在性问题。我们的结果导出了一些涉及双色和多色 Folkman 数的一般不等式。