关于层析成像内部问题的 Sobolev 不稳定性

在本文中，我们继续研究\cite{BKT2} 中开始的层析成像内部问题。众所周知，求解内部问题{其中先验数据指定在有限区间集合 $I_i$ 上} 等价于将函数从 $I_i$ 解析延拓到开集 ${\bf J}$。在本文中，我们证明这种解析延拓可以通过一个简单的显式公式获得，该公式涉及级数求和。我们的第二个结果是，无论集合 ${\bf J}$ 离 $I_i$ 有多近，解析延拓算子对于任何一对 Sobolev 空间都是不稳定的。我们的主要工具是算子 $\mathcal H^{-1}_e$ 的奇异值分解，该算子出现在将内部问题简化为从不完整数据反演 Hilbert 变换的问题时。$\mathcal H^{-1}_e$ 的奇异值和奇异函数的渐近行为（后者在 $I_i$ 内部的紧子集上一致有效）已在\cite{BKT2} 中获得。{利用这些渐近行为，我们可以准确测量解析延拓作为目标区间 ${\bf J}$ 函数的病态程度。} 我们的{最后} 结果是奇异函数渐近近似在 $L^2(I_i)$ 意义下的收敛性。