关于斜哈密顿矩阵及其Krylov-Lagrangian子空间

一个众所周知的事实是：由斜哈密顿矩阵 $H \in \mathbb{R}^{2n \times 2n}$ 和某个 $x \in \mathbb{R}^{2n}$ 生成的Krylov空间 $\mathcal{K}_j(H,x)$ 对任意 $j \in \mathbb{N}$ 都是各向同性的。对于任意给定的维数为 $n$ 的各向同性子空间 $\mathcal{L} \subset \mathbb{R}^{2n}$（称为Lagrangian子空间），本文考察 $\mathcal{L}$ 是否可作为某个斜哈密顿矩阵的Krylov空间生成。我们分析了所有将 $\mathcal{L}$ 生成为Krylov空间的斜哈密顿矩阵 $H \in \mathbb{R}^{2n \times 2n}$ 所构成的仿射簇 $\mathbb{HK}$。证明了存在性与唯一性结果，求出了 $\mathbb{HK}$ 的维数，并辨识出 $\mathbb{HK}$ 中具有最小 $2$-范数和Frobenius范数的斜哈密顿矩阵。此外，给出了一个求 $\mathbb{HK}$ 基的简单算法。