关于无理旋转上的奇摄动线性上循环

我们研究圆 $\mathbb{T}^{1}$ 上无理旋转 $\sigma_{\omega}(x) = x + \omega$ 的线性上循环。假定该上循环由 $C^{1}$-映射 $A_{\varepsilon}: \mathbb{T}^{1} \to SL(2, \mathbb{R})$ 生成，其依赖于小参数 $\varepsilon\ll 1$ 并具有对应于奇摄动薛定谔方程的庞加莱映射的形式。在假设 $A_{\varepsilon}(x)$ 的特征值具有 $\exp(\pm \lambda(x)/\varepsilon)$ 的形式（其中 $\lambda(x)$ 为正函数）下，我们考察该上循环相对于参数 $\varepsilon$ 具有指数二分性（ED）的性质。我们表明在极限 $\varepsilon\to 0$ 下，上循环“通常”仅当其指数接近于常值上循环时才表现出 ED。相反，若上循环不接近于常值上循环，则它不具有 ED，而李雅普诺夫指数“通常”较大。