拟稳随机动力学的扰动公式及其在开放系统与极值理论中的应用

我们考虑由可逆遍历过程 $\sigma:\Omega\to\Omega$ 驱动的拟紧线性算子余循环 $\mathcal{L}^{n}_\omega:=\mathcal{L}_{\sigma^{n-1}\omega}\circ\cdots\circ\mathcal{L}_{\sigma\omega}\circ \mathcal{L}_{\omega}$ 及其小扰动 $\mathcal{L}_{\omega,\epsilon}^{n}$。我们证明了一个关于主导 Lyapunov 乘子的抽象 $\omega$ 逐点一阶公式。然后我们考虑 $\mathcal{L}_{\omega}^{n}$ 是随机映射余循环 $T_\omega^{n}:=T_{\sigma^{n-1}\omega}\circ\cdots\circ T_{\sigma\omega}\circ T_{\omega}$ 的转移算子余循环的情形，且扰动转移算子 $\mathcal{L}_{\omega,\epsilon}$ 由在 $[0,1]$ 中引入小的随机洞 $H_{\omega,\epsilon}$ 定义，从而创建一个随机开放动力系统。我们在该设定下获得一阶扰动公式，其形式为 $\lambda_{\omega,\epsilon}=\lambda_\omega-\theta_{\omega}\mu_{\omega}(H_{\omega,\epsilon})+o(\mu_\omega(H_{\omega,\epsilon}))$，其中 $\mu_\omega$ 是原封闭随机动力学的唯一等变随机测度（及平衡态）。我们的新工具随后被用于建立一种针对拟稳极值理论的谱方法，该方法考虑具有一般遍历可逆驱动和随机观测的随机动力学。利用一阶项 $\theta_\omega$ 导出了一个极值定律。此外，在随机分段扩张区间映射的设定下，我们通过随机扰动方法建立了随机开放系统的随机平衡态和条件不变测度的存在性。最后我们证明了由收缩势产生的随机平衡态的拟稳统计极限定理。我们用多种显式例子说明了该理论。