关于无理旋转上具次级碰撞的 $SL(2,\mathbb{R})$-上循环

我们考虑圆 $\mathbb{T}^{1}$ 上无理旋转 $\sigma_{\omega}(x) = x + \omega$ 的斜积 $F_{A} = (\sigma_{\omega}, A)$。假定变换 $A: \mathbb{T}^{1} \to SL(2, \mathbb{R})$ 为 $C^{1}$-映射，具有形式 $A(x) = R(\varphi(x)) Z(\lambda(x))$，其中 $R(\varphi)$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 中转角 $\varphi$ 的旋转，$Z(\lambda)= diag\{\lambda, \lambda^{-1}\}$ 为对角矩阵。假设 $\lambda(x) \ge \lambda_{0} > 1$，其中 $\lambda_{0}$ 为充分大常数，且函数 $\varphi$ 满足 $\cos \varphi(x)$ 仅有简单零点，我们研究由 $F_{A}$ 生成的上循环的双曲性质。我们应用临界集方法证明，在对函数 $\varphi$ 的导数附加一些要求下，次级碰撞补偿了由初级碰撞引起的双曲性减弱，并且与次级碰撞可被部分消除的情形相反，由 $F_{A}$ 生成的上循环变为双曲的。