关于无理旋转上仿射上闭链的多重遍历性

设 $T_\alpha$ 表示加法圆周 $T=[0,1)$ 上由无理数 $\alpha$ 给出的旋转 $T_{\alpha}x=x+\alpha$ (mod 1)。设 $\beta_1,\dots, \beta_d$ 为 $[0, 1)$ 中的 $d\geqslant 1$ 个参数。本文的目标之一是描述由向量函数 $\Psi_{d+1}(x):=(\phi(x), \phi(x+\beta_1),\dots, \phi(x+\beta_d))$（其中 $\phi(x)={x}-1/2$）在 $T_\alpha$ 上生成的上闭链（取值于 $R^{d+1}$）的遍历性质。文献 \cite{LeMeNa03} 已证明对于具有有界部分商的 $\alpha$，$\Psi_{2}$ 是正则的。在本文中，我们证明对于任意无理数 $\alpha$，$\Psi_{2}$ 都是正则的。对于更高维的情形，我们给出了正则性的充分条件。虽然 $d=2$ 的情形仍未解决，但对于 $d=3$，我们针对参数 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 的某些值提供了非正则上闭链 $\Psi_{4}$ 的例子。我们还证明了上闭链 $\Psi_{d+1}$ 的正则性问题可归结为形如 $\Phi_{d} =(1_{[0, \beta_j]} - \beta_j)_{j= 1, \dots, d}$（取值于 $R^d$）的上闭链的正则性问题。因此，本文的大部分内容致力于取值于 $R^{d}$ 的阶梯函数的分类问题。