某些 Perron-Frobenius 算子上同调链的第二个最大 Lyapunov 指数的渐近性

给定一个由非奇异可测映射的上同调链表示的离散时间随机动力系统，我们可以通过研究这些映射所对应的 Perron-Frobenius 算子的上同调链来获取动力学量的信息。特别令人感兴趣的是第二个最大 Lyapunov 指数 $\lambda_2$，它能告诉我们系统中的混合速率与相关衰减。我们证明了一个关于 Banach 空间上有界线性算子上同调链的广义 Perron-Frobenius 定理，该上同调链保持并偶尔收缩一个锥；此定理表明该上同调链的顶部 Oseledets 空间是一维的，并且 $\lambda_1$ 与 $\lambda_2$ 之间的间隙（即严格小于 $\lambda_1$ 的 $\lambda_2$ 的上界）存在一个易于计算的下界。随后我们将该定理应用于由参数化映射族产生的 Perron-Frobenius 算子上同调链的情形，从而得到 $\lambda_2$ 的上界；据我们所知，这是首次对一个映射族的 $\lambda_2$ 给出上界。为此，我们利用了一个新的平衡 Lasota-Yorke 不等式。我们还考察了具有两个不变密度的固定映射的随机扰动，并表明当扰动按比例缩小回未扰动映射时，$\lambda_2$ 在尺度参数中渐近线性。我们的估计是锐利的，原因在于存在该固定映射的一列缩放扰动均为 Markov 的，使得 $\lambda_2$ 渐近于尺度参数的 $-2$ 倍。