Perron-Frobenius 算子上循环 Lyapunov 谱的稳定性与坍缩
动力系统
2018-11-26 v2
摘要
本文研究作用于单位圆上的随机 Blaschke 乘积，并考虑作用于环域上解析函数 Banach 空间的 Perron-Frobenius 算子上循环。我们完整刻画了这些上循环的 Lyapunov 谱。作为一个推论，我们得到一个简单的随机 Blaschke 乘积系统，其中 Perron-Frobenius 上循环具有无穷多个不同的 Lyapunov 指数，但任意小的自然扰动都会导致 Lyapunov 谱的完全坍缩，除了与绝对连续不变测度相关的指数 0 之外。也就是说，在扰动下，Lyapunov 指数变为 0（重数 1）和 （无穷重数）。这在表面上类似于 Bochi \cite{Bochi-thesis} 发现的有限维现象，即在一致双曲情形之外，小扰动可导致 Lyapunov 谱坍缩到零。然而，本文中上循环及其扰动被显式描述；并且，坍缩的机制截然不同。我们研究由一般随机 Blaschke 乘积产生的 Perron-Frobenius 上循环的稳定性。我们给出了 Lyapunov 谱稳定性的一个充要条件，用随机 Blaschke 乘积在其随机不动点处的导数表示，并由此证明开稠密的 Blaschke 乘积上循环集合具有双曲的 Perron-Frobenius 上循环。在最后部分，我们证明了作用于两个不同 Banach 空间的单个上循环的 Lyapunov 谱之间的关系，从而使我们能够得出同一上循环作用于 函数空间时的结论。
引用
@article{arxiv.1806.08873,
title = {Stability and Collapse of the Lyapunov spectrum for Perron-Frobenius Operator cocycles},
author = {Cecilia González-Tokman and Anthony Quas},
journal= {arXiv preprint arXiv:1806.08873},
year = {2018}
}