通过半群作用视角看线性上循环的李雅普诺夫非典型行为

著名的Oseledets定理\cite{O}建立在Furstenberg和Kesten关于矩阵随机乘积以及取值于非紧半单李群\cite{FK,Furstenberg}的随机变量的开创性工作之上，该定理保证了对$d\geqslant 2$的$\mathrm{SL}(d,\mathbb R)$-上循环在移位之上的李雅普诺夫指数对所有全概率集（即对所有不变概率的满测度子集）中的点都有良好定义。给定一个局部常值$\mathrm{SL}(d,\mathbb R)$值上循环，我们同时关注移位空间上某些李雅普诺夫指数无良好定义的点的集合，以及射影空间$\mathbf P \mathbb R^d$上某些方向（沿这些方向对某一矩阵乘积不存在良好定义的向量指数增长率）的集合。我们证明，若由有限多个$\mathrm{SL}(d,\mathbb R)$中矩阵生成的半群非紧且强射影可达，则$\mathbf P \mathbb R^d$中存在一个稠密方向集，沿这些方向此类矩阵的典型乘积的李雅普诺夫指数无良好定义。作为推论，我们推得李雅普诺夫非典型行为在$SL(3,\mathbb R)$值双曲上循环中普遍存在。这些结果源于对紧度量空间$X$上由同胚生成的有限生成半群作用中连续观测量的Ces\`aro平均及无限路径的非典型点集在温和击中时间条件下的更一般性描述。