某些矩阵上循环的 Lyapunov 优化测度的熵

我们考虑 $2 \times 2$ 矩阵的一步上循环，并关注其 Lyapunov 优化测度，即最大化或最小化 Lyapunov 指数的不变概率测度。如果该上循环是占优的，即两个 Lyapunov 指数沿所有轨道一致分离，则 Lyapunov 优化测度总是存在，且由它们的支集刻画。在表征占优的锥之间不重叠的附加假设下，我们证明了 Lyapunov 优化测度的熵为零。若无占优假设，此结论显然不成立，即使对于典型的单步 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$-上循环也是如此；事实上，我们展示了在后一种情况下，存在具有零 Lyapunov 指数的正熵测度。