关于具有 $\delta$-相互作用的一维 Schrödinger 算子的自伴性

在本文中，我们在 $L^2(\mathbb{R}_+)$ 中考虑 Schrödinger 算子 $\mathrm{H_{X,\alpha}}=-\mathrm{\frac{d^2}{dx^2}}+\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n\delta(x-x_n)$。我们研究并完善了 \cite{karpiiKost} 中得到的关于 $\mathrm{H_{X,\alpha}}$ 的自伴性与亏指数非平凡性的条件。我们将先前在特殊情形 $d_n:=x_{n}-x_{n-1}=1/n$, $n\in \mathbb{N}$ 下找到的条件推广到更广泛的一类序列 $\{x_n\}_{n=1}^\infty$。即，对于 $x_n=\frac{1}{n^{\gamma}\ln^\eta n}$ 且 $<\gamma,\eta>\in(1/2, 1)\times(-\infty,+\infty)\:\cup\:\{1\}\times(-\infty,1]$，我们得到了序列 $\{\alpha_n\}_{n=1}^{\infty}$ 渐近行为的描述，以使得 $\mathrm{H_{X,\alpha}}$ 要么是自伴的，要么具有非平凡亏指数。