亏指数解耦及其在具有可能强奇异势的薛定谔型算子中的应用

我们研究薛定谔型算子 $(- \Delta +V)\upharpoonright_{C_0^{\infty}(\mathbb{R}^n \setminus \Sigma)}$ 的闭对称 $L^2(\mathbb{R}^n)$-实现 $H$，其势系数 $V$ 在 $n$ 维勒贝格测度为零的紧集 $\Sigma_j$ ($j \in J$) 上具有可数个良好分离的奇点，其中 $J \subseteq \mathbb{N}$ 为指标集且 $\Sigma = \bigcup_{j \in J} \Sigma_j$。我们证明 $H$ 的亏量 $\mathrm{def}(H)$ 可以通过 $(- \Delta + V_j)\upharpoonright_{C_0^{\infty}(\mathbb{R}^n \setminus \Sigma_j)}$ 的闭对称 $L^2(\mathbb{R}^n)$-实现的个体亏量 $\mathrm{def}(H_j)$ 来计算，其中势系数 $V_j$ 局域化于奇点 $\Sigma_j$ 附近，$j \in J$，且 $V = \sum_{j \in J} V_j$。特别地，我们证明了 $$\mathrm{def}(H) = \sum_{j \in J} \mathrm{def}(H_j),$$ 包括其中一边乃至两边等于 $\infty$ 的可能性。我们首先发展了一种处理亏指数解耦问题的抽象方法，然后将其应用于 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 中薛定谔型算子的具体情形。此外，我们还展示了如何通过 $V_j$ ($j \in J$) 相对于 $H_0= - \Delta\upharpoonright_{H^2(\mathbb{R}^n)}$ 的算子（及形式）界来估计 $V$ 相对于 $H_0$ 的算子（及形式）界。同样，我们首先证明一个抽象结果，然后展示其对 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 中薛定谔型算子的适用性。本文也处理了对 $\mathbb{R}^n$ 上具有可能强奇异势系数的二阶（局部一致）椭圆型微分算子的推广。