非整数幂律势能的 Schr"odinger 算子与 Lie-Rinehart 代数
微分几何
2024-12-30 v1 数学物理
偏微分方程分析
math.MP
算子代数
摘要
我们研究具有势能 的 Schr"odinger 算子 ，其中势能在 0 和 处具有非整数幂律增长（不一定为多项式），并运用 Lie 理论（Lie-Rinehart 代数）和微分幅分析的方法。具体而言，我们证明 在某种意义上由一个显式的 Lie-Rinehart 代数“生成”。这使得可以构建适合的（微分幅）伪微分算子计算体系，以进一步获得 的性质。经典情况下，微分幅分析方法用于研究 时，描述势能 的幂律指数通常为整数。因此，本文的主要工作在于指出幂律指数的整数性条件对于微分幅分析方法的有效性并非必然必要。尽管我们考虑势能遵循（可能非整数）幂律既在原点又在无穷处，但结果可以直接推广到在多个点处具有幂律奇点的势能。通过考虑 Lie-Rinehart 代数及其连续族群体的积分设置，实现了对非整数幂律势能的经典微分幅分析结果的扩展。（经典情形则依赖于 Lie 诱导子和 Lie 群体。）
引用
@article{arxiv.2412.19290,
title = {Schr\"odinger operators with non-integer power-law potentials and Lie-Rinehart algebras},
author = {Ivan Beschastnyi and Catarina Carvalho and Victor Nistor and Yu Qiao},
journal= {arXiv preprint arXiv:2412.19290},
year = {2024}
}