论 Smilansky 哈密顿量的共振与束缚态

我们考虑在亚临界区域 $\varepsilon \in (0,1)$ 内，与形式微分表达式 $-\partial_x^2 - \frac12(\partial_y^2 + y^2) - \sqrt{2}\varepsilon y \delta(x)$ 相关联的 $L^2(\mathbb{R}^2)$ 中的自伴 Smilansky 哈密顿量 $\mathsf{H}_\varepsilon$。我们证明了在底层黎曼面的一族可数子叶上 $\mathsf{H}_\varepsilon$ 存在共振，这些子叶到物理叶的距离是有限的。在这些叶上，我们找到了无共振区域，并刻画了小 $\varepsilon > 0$ 时的共振。此外，我们细化了先前关于 $\mathsf{H}_\varepsilon$ 在弱耦合区域（$\varepsilon\rightarrow 0+$）的束缚态的已知结果。在证明中，我们使用了 $\mathsf{H}_\varepsilon$ 的 Birman-Schwinger 原理、Jacobi 矩阵的谱理论元素以及解析隐函数定理。