关于奇数和偶数整数参数处 Riemann zeta 值的商

我们证明对于正偶数 $n$，Riemann zeta 值 $\zeta(n+1)$ 和 $\zeta(n)$ 的商满足方程 $$\frac{\zeta(n+1)}{\zeta(n)} = (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{1}{2^{n+1}-1}) \frac{\mathcal{L}^\star(\mathfrak{p}_n)}{\mathfrak{p}_n'(0)},$$ 其中 $\mathfrak{p}_n \in \mathbb{Z}[x]$ 是某个 $n$ 次首一多项式，$\mathcal{L}^\star: \mathbb{C}[x] \to \mathbb{C}$ 是一个与特殊 Dirichlet 级数相关的线性泛函。存在分解 $\mathfrak{p}_n(x) = x(x+1) \mathfrak{q}_n(x)$。如果 $n = p+1$，其中 $p$ 是奇素数，则 $\mathfrak{q}_n$ 是 Eisenstein 多项式，因此在 $\mathbb{Z}[x]$ 上不可约。