关于有限域 $\F_{2^m}$ 上三变量函数的非置换现象及 Beierle 等人猜想的解决

构造有限域上的置换多项式，尤其是具有简单代数结构的多变量函数，是密码学和编码理论中的一个基本问题。最近，Li 和 Kaleyski (IEEE Trans. Inf. Theory, 2024) 将两个稀有二次 APN 置换推广为三变量函数的无限族。以他们的工作为动机，我们调查广义三变量函数不构成置换的条件。我们建立了系数参数的必要条件，以防止置换属性；提供了小范围域扩展的完整计算分类；并证明了一般性的非置换结果。作为代数几何方法的关键应用，我们解决了 Beierle、Carlet、Leander 和 Perrin (Finite Fields Appl., 2022) 关于相关三变量形式的猜想的置换部分。具体而言，我们证明对于所有特征为 2 的奇数扩展次数 $m \geq 23$，其函数 $C_u$ 在 $\mathbb{F}_{2^m}^3$ 上对任意 $u \in \mathbb{F}_{2^m}^*$ 都不是置换，从而在足够大的域上解决了其猜想的置换部分。