关于 $2\times2$ 线性群的 Pro-$2$ 恒等式

设 $\hat{F}$ 为自由 pro-$p$ 非交换群，$\Delta$ 为具有极大理想 $I$ 的诺特完备交换局部环，使得 $\textrm{char}(\Delta/I)=p>0$。在 [Zu] 中，Zubkov 证明了当 $p\neq2$ 时，pro-$p$ 同余子群 $$GL_{2}^{1}(\Delta)=\ker(GL_{2}(\Delta)\overset{\Delta\to\Delta/I}{\longrightarrow}GL_{2}(\Delta/I))$$ 承认一个 pro-$p$ 恒等式，即存在一个元素 $1\neq w\in\hat{F}$，其在任意连续同态 $\hat{F}\to GL_{2}^{1}(\Delta)$ 下为零。本文研究 $p=2$ 的情形。主要结果是当 $\textrm{char}(\Delta)=2$ 时，pro-$2$ 群 $GL_{2}^{1}(\Delta)$ 承认一个 pro-$2$ 恒等式。该结果通过源自 PI 理论的迹恒等式得到。