关于由两个抛物元素生成的 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}])$ 的同余子群

我们研究了由两个抛物矩阵生成的 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{C})$ 子群的自由性问题。对于 $q = r/p \in \mathbb{Q} \cap (0,4)$，其中 $p$ 为素数且 $\gcd(r,p)=1$，我们启动了由两个矩阵 $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \end{pmatrix}, \text{ 和 } Q_q = \begin{pmatrix} 1 & q \ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ 生成的群 $\Delta_q$ 的代数结构研究。我们提出猜想：$\Delta_{r/p} = \overline{\Gamma}_1^{(p)}(r)$，即 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}])$ 中所有右上角元素模 $r$ 同余于 0 且对角线元素模 $r$ 同余于 1 的矩阵构成的同余子群。我们证明了当 $r \leq 4$ 时该猜想成立，并在 $r = 5$ 的某些情况下证明了该猜想。此外，在关于原根的 Artin 猜想的强形式成立的条件下，我们也证明了当 $r \in \{ p-1, p+1, (p+1)/2 \}$ 时该猜想成立。在所有这些情况下，这提供了关于 $\Delta_{r/p}$ 代数结构的信息：它同构于一个 virtually free 群的有限图的基本群，并且在 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}[\frac{1}{p}])$ 中具有有限指数 $J_2(r)$，其中 $J_2(r)$ 表示 Jordan totient 函数。