关于由两个带有有理参数的抛物矩阵生成的群的非自由性：极点与轨道测试

设 $\alpha \in \mathbb{R}$，则定义群 $G_{\alpha}:= \left< \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} \right> < \mathrm{SL}_2 (\mathbb{R})$。K. Kim 与第一作者建立了轨道测试，提供了 $G_{\alpha}$ 非秩为 2 的自由群的充分条件。本文的两个主要应用。首先，利用对应的模 homomorphism，我们显示轨道测试的逆命题不成立。特别是，我们构造了显式的反例，其中所有反例都是有理数。作为另一项应用，我们构造了收敛于 3 的非自由有理数序列，这些序列为 $$3 + \frac{3}{2 (9 n - 1)} \quad \text{和} \quad 3 + \frac{9 n + 5}{3 (2 n + 1) (9 n + 4)},$$ 其构造依赖于轨道测试以及修改的 Pell 方程。