模 $\ell$ gamma 因子与有限一般线性群的逆定理

Piatetski-Shapiro 在 $\mathbb{C}$ 上证明的 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)$ 的 Rankin-Selberg gamma 因子的局部逆定理在模 $\ell \neq p$ 约化后不再成立。为此，我们为 Whittaker 型表示构造了取值于任意 $\mathbb{Z}[1/p, \zeta_p]$-代数的新 $\mathrm{GL}_n \times \mathrm{GL}_m$ gamma 因子，证明它们满足函数方程，然后证明了一个关于不可约尖表示的 $\mathrm{GL}_n \times \mathrm{GL}_{n-1}$ 逆定理。在 $\mathrm{GL}_2 \times \mathrm{GL}_1$ 情形中，我们定义了一个替代的“新” gamma 因子，它取值于 $k$ 并满足一个与特征 $0$ 中的逆定理相匹配的逆定理。