逆定理与高斯和（含宗伟云之附录）

本文验证了 ${\rm GL}_n({\mathbb F}_p)$ 不可约尖点表示的扭曲 gamma 因子的 $n\times 1$ 局部逆定理，其中 $n\leq 5$，以及不可约泛型表示的相应定理（在宗伟云的附录中，对 $n<\frac{q-1}{2\sqrt{q}}+1$ 成立），其中 $p$ 为素数，$q$ 为 $p$ 的幂。对于零级尖点表示，$n\times 1$ 逆定理的对应结论也由所建立的 ${\rm GL}_n({\mathcal F})$ 与 ${\rm GL}_n({\mathbb F}_q)$ 的 gamma 因子之间的关系推出，其中 ${\mathcal F}$ 表示剩余类域同构于 ${\mathbb F}_q$ 的 $p$-进域。对于 $n=6$，我们给出了有限域上不满足 $n\times 1$ 局部逆定理的例子，并提出了一组本原表示，使得 $n\times 1$ gamma 因子应能从中检测出唯一元素。对于 $m,\ n\in {\mathbb N}$，本着 Langlands 函子性提升的精神，我们提出一个猜想，将有限域上的 $n\times m$ gamma 因子与扩张域上的高斯和相联系。