关于具有圆形数值域的部分等距算子

Gau、Wang 和 Wu 在 LAMA'2016 论文中猜想，作用在 $\mathbb{C}^n$ 上的部分等距算子 $A$ 不可能具有非零中心的圆形数值域，并证明了 $n\leq 4$ 时的该猜想。我们证明了对于 $\mathrm{rank}\,A=n-1$ 及任意 $n$ 的算子该猜想成立。证明基于 $A$ 与由有限 Blaschke 乘积 $B$ 生成的压缩移位算子 $S_B$ 的酉相似。随后我们利用 $S_B$ 的数值域作为 Poncelet 多边形之交的描述、与边界插值相关的 Blaschke 乘积的特殊表示，以及涉及椭圆函数的 Poncelet 多边形顶点重心的显式公式。