次数为 $2^n$ 的可分解Blaschke乘积

我们研究次数为 $2^n$ 的有限Blaschke乘积 $B$ 分解为 $n$ 个二次Blaschke乘积的问题,考察Blaschke乘积、椭圆值域定理、Poncelet定理与单值群之间的联系。我们证明:若移位算子压缩的数值值域 $W(S_B)$(其中 $B$ 为次数 $n$ 的Blaschke乘积)为椭圆,则 $B$ 可写为低次Blaschke乘积的复合,对应于整数 $n$ 的因子分解。我们还证明,具有椭圆Blaschke曲线的 $2^n$ 次Blaschke乘积至多具有 $n$ 个不同临界值,并借此考察与正则化Blaschke乘积 $B$ 相关的单值群。我们证明:若 $B$ 可分解为 $n$ 个二次Blaschke乘积,则与 $B$ 相关的单值群是 $n$ 个二阶循环群的圈积。最后,我们研究当 $B$ 为 $n$ 个二阶Blaschke乘积的复合时,次数为 $2^n$ 的Blaschke乘积 $B$ 的不变量群。