论修正爱因斯坦张量及紧流形的两个光滑不变量

设$(M,g)$为黎曼$n$-流形，记$\Ric$与$\Scal$为$g$的Ricci曲率与数量曲率。对标量$k<n$，修正爱因斯坦张量记为$\Eink$，定义为$\Eink :=\Scal \, g -k\Ric$。注意通常的爱因斯坦张量为$\Eint$的一半，且${\rm Ein}_0=\Scal.g$。结果表明，对所有$0<k<n$的这些新修正张量，仍分别是总数量曲率泛函关于修正积分内积的梯度。本文研究这些张量的正性性质，其推广了数量曲率（$k=0$）与正爱因斯坦曲率（$k=2$）的正性性质。对某个正$k$，$\Eink$的正性蕴含所有$0\leq l\leq k$的${\rm Ein}_l$的正性，因此我们定义$M$的光滑不变量$\cEin(M)$为使得$\Eink$为正的最大正$k$的上确界。由定义$\cEin(M)\in [0,n]$，其为零当且仅当$M$无正数量曲率度量，且在$M$具有正数量曲率的爱因斯坦度量时取最大值$n$。在某种意义下，$\cEin(M)$度量了$M$距离承认正数量曲率的爱因斯坦度量有多远。本文证明：若$M$容许非交换连通李群的有效作用，或$M$为单连通、正数量曲率且维数$\geq 5$，则$\cEin(M)\geq 2$。我们还证明不变量$\cEin$在流形$M$上的手术操作后仍增大，或当假设流形$M$具有更高连通性时亦增大。我们证明条件$\cEin(M)\leq n-2$不对$M$的基本群施加任何限制。我们定义并证明了类似不变量$\cein(M)$的相应性质。本文包含若干开放问题。