关于异宿连接的局部吸引性质与稳定性指标

某些不变集可能吸引附近的一组初始条件，但同时也排斥附近另一组互补的初始条件。对于给定的不变集$X\subset\R^n$及其吸引域$N$，我们定义了$X$中一点$x$的稳定性指标$\sigma(x)$，该指标刻画了吸引域的局部范围。设$B_{\epsilon}$表示以$x$为中心、半径为$\epsilon$的球。如果$\sigma(x)>0$，则$B_{\epsilon}\setminus N$的测度相对于球测度为$O(\epsilon^{|\sigma(x)|})$；而如果$\sigma(x)<0$，则$B_{\epsilon}\cap N$的测度相对于球测度具有相同的阶。我们证明该指标沿轨迹是常数，并将这一轨道不变量与其他稳定性概念（如Milnor吸引、本质渐近稳定性和相对于正测度集的渐近稳定性）联系起来。我们将定义推广到局部吸引域（即$N$定义为吸引域中轨迹保持局部在$X$附近的初始条件集合）。该稳定性指标对于讨论稳健异宿环的稳定性特别有用，多位作者已研究了在作为Milnor吸引子的环附近出现的不稳定性尖点。我们研究了$\R^4$中的简单（稳健异宿）环，并展示了局部稳定性指标（以及局部稳定性性质）如何根据环上稳态点处向量场线性化的特征值来计算。在此过程中，我们推广了Krupa和Melbourne（1995,2004）的先前结果，并给出了$\R^4$中简单异宿环成为Milnor吸引子的判据。