动力学定义 Weierstrass 函数的稳定性指数

设 $\hat{T} : X \times \mathbb{R} \to X \times \mathbb{R}$ 由 $\hat{T}(x,t) = (Tx, g_x(t))$ 给出，这是一个斜积动力系统，其中 $T : X \to X$ 是混合共形扩张映射，且对于每个 $x \in X$，$g_x : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是形式为 $g_x(t)=-f(x)+\lambda(x)^{-1}t$ 的仿射映射。在关于 $\lambda$ 的适当收缩假设下，存在一个可测函数 $u: X \to \mathbb{R}$，使得 $\text{graph}(u) = \{(x,u(x)) \mid x\in X\}$ 是 $\hat{T}$-不变的，并将 $X \times \mathbb{R}$ 划分为两个区域 $\mathbb{B}^+$ 和 $\mathbb{B}^-$，这两个区域由在 $\hat{T}$ 迭代下被排斥至 $\pm\infty$ 的点组成。就 Milnor 意义而言，这两个区域充当了趋向 $\pm \infty$ 的吸引盆。这两个吸引盆具有复杂的局部结构：点 $(x,t) \in \mathbb{B}^+$ 的邻域通常会在一个正测度集合中与 $\mathbb{B}^-$ 相交。稳定性指数（由 Podvigina 和 Ashwin \cite{podviginaashwin:11} 针对一般 Milnor 吸引子引入）是该交集测度的多项式衰减速率。我们计算了 $X \times \mathbb{R}$ 中典型点的稳定性指数，并对稳定性指数水平集进行了多重分形分析。