条形区域上半线性椭圆方程的最小能量解

我们考虑条形区域上的以下半线性椭圆方程：$$\left\{{array}{l} \Delta u-u + u^p=0 \ {in} \ \R^{N-1} \times (0, L), u>0, \frac{\partial u}{\partial \nu}=0 \ {on} \ \partial (\R^{N-1} \times (0, L)) {array} \right.$$ 其中 $1< p\leq \frac{N+2}{N-2}$。当 $1<p <\frac{N+2}{N-2}$ 时，证明存在唯一的 $L_{*} >0$，使得当 $L \leq L_{*}$ 时，最小能量解是平凡的（即不依赖于 $x_N$），而当 $L >L_{*}$ 时，最小能量解是非平凡的。当 $N \geq 4, p=\frac{N+2}{N-2}$ 时，证明存在两个数 $L_{*}<L_{**}$，使得当 $L \leq L_{*}$ 时最小能量解是平凡的，当 $L \in (L_{*}, L_{**}]$ 时最小能量解是非平凡的，而当 $L >L_{**}$ 时最小能量解不存在。还与CMC理论中的Delaunay曲面建立了联系。