关于全控制数与 Grundy 全控制数相等的图

在无孤立顶点的图 $G$ 中,顶点序列 $(v_1,\ldots ,v_k)$ 称为全控制序列,若序列中每个顶点 $v_i$ 至少全控制一个未被 $\{v_1,\ldots , v_{i-1}\}$ 全控制的顶点,且 $\{v_1,\ldots ,v_k\}$ 是 $G$ 的一个全控制集。此类最短序列的长度为 $G$ 的全控制数($\gamma_t(G)$),而最长序列的长度为 $G$ 的 Grundy 全控制数($\gamma_{gr}^t(G)$)。本文研究全控制数与 Grundy 全控制数相等的图。我们刻画了全控制数与 Grundy 全控制数均为 4 的二部图,并证明不存在满足 $\gamma_t(G)=\gamma_{gr}^t(G)=4$ 的连通弦图。本文的主要结果是通过建立此类图的存在性与一个经典但仍未解决的某些有限射影平面存在性问题之间的惊人对应,刻画了满足 $\gamma_t(G)=\gamma_{gr}^t(G)=6$ 的正则二部图。