关于 Euclid d 维空间中有正reach的集合的几何性质

证明了关于 Euclid $d$ 维空间 ${\bf E}^d$ 中具有正 reach 的集合的一些几何事实。对 ${\bf E}^d$ 中的 $x_1$ 与 $x_2$ 及 $R>0$，记 ${\mathfrak H}(x_1,x_2,R)$ 为包含所有 $x_1$ 与 $x_2$ 的半径为 $R$ 的闭球之交集。对 ${bf E}^d$ 的紧子集 $K$，我们证明 ${\rm reach}(K)\ge R$ 当且仅当对每对满足 $\Vert x_1-x_2\Vert< 2R$ 的 $x_1,x_2\in K$，${\mathfrak H}(x_1,x_2,R)\cap K$ 连通。一个推论是：若 ${\rm reach}(K)\ge R>0$ 且 $D$ 为半径小于或等于 $R$ 的闭球（与 $K$ 相交），则 ${\rm reach}(K\cap D)\ge R$。我们还给出 $A\subset{\bf E}^d$ 容许（关于包含）reach $\ge R$ 的极小覆盖的充要条件。