几何并集的拓扑

我们考虑欧几里得空间子集族的几何并集。这是一种在（彩色）Carathéodory 定理和 Tverberg 定理及其相关定理中经常使用的构造。我们猜想，当该族包含至少 $d+1$ 个集合时（其中 $d$ 为空间维数），几何并集是可缩的。我们能够证明当 $d$ 等于 2 和 3 时此猜想成立，而对于更大的 $d$，我们表明若集合数量是 $d$ 的二次方，则几何并集是可缩的。我们还考虑了几何并集的拟阵推广，并在此情况下提供了类似的界限。