如何在欧几里得空间中走捷径：将给定集合变为短拟凸集

对于 $d$ 维欧几里得空间中的给定连通集 $\Gamma$，我们构造一个连通集 $\tilde\Gamma\supset \Gamma$，使得这两个集合的 Hausdorff 长度可比，且 $\tilde\Gamma$ 具有拟凸性质，即 $\tilde\Gamma$ 中任意两点 $x$ 和 $y$ 均可通过一条完全位于 $\tilde\Gamma$ 内的路径连接，该路径的长度被 $x$ 与 $y$ 之间欧几里得距离的某个固定常数倍所界定。因此，对于 $d$ 维欧几里得空间中的任意集合 $K$，我们都能得到如上所述的集合 $\tilde\Gamma$，使得 $\tilde\Gamma$ 的 Hausdorff 长度与包含 $K$ 的最短连通集可比。此处出现的常数仅依赖于空间维数 $d$。当 $\Gamma$ 是 Reifenberg 平坦时，我们的常数也与维数 $d$ 无关，且在此情形下，定理对无限维 Hilbert 空间中的 $\Gamma$ 也成立。这项工作与计算机科学中出现的 $k$-spanner 密切相关。关键词：弦弧、拟凸、k-spanner、旅行商。