一类非凸集合中的尖锐庞加莱不等式

设 $\gamma$ 为一条光滑、非闭合的简单曲线，其图像关于 $y$ 轴对称，并设 $D$ 为一个平面区域，由位于 $\gamma$ 一侧且与 $\gamma$ 距离在适当范围 $\delta$ 内的点组成。记 $\mu_1^{odd}(D)$ 为最小的非平凡诺伊曼特征值，其对应的特征函数关于 $y$ 轴为奇函数。若 $\gamma$ 满足某些简单的几何条件，则 $\mu_1^{odd}(D)$ 可根据 $\gamma$ 的长度、曲率及 $\delta$ 从下方得到精确估计。此外，我们给出了确保 $\mu_1^{odd}(D)=\mu_1(D)$ 的关于 $\delta$ 的显式条件。最后，我们可以将关于 $\mu_1^{odd}(D)$ 的界推广到某一类三维区域。在二维和三维情形下，我们的区域通常是非凸的。