通过触及距离与体积刻画欧氏空间中的单位球面

设 $M$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中无边界的光滑、连通、紧致子流形，其维数 $k\geq 2$。令 $\mathbb{S}^k \subset \mathbb{R}^{k+1}\subset \mathbb{R}^n$ 表示 $k$ 维单位球面。我们证明若 $M$ 的触及距离(reach)等于 1，则其体积满足 $\text{vol}(M)\geq \text{vol}(\mathbb{S}^k)$，且等号成立当且仅当 $M$ 与 $\mathbb{S}^k$ 全等。