梯度线性与非线性弹性中的分数阶与分形表述

本文中，我们考虑由第二作者早先提出的梯度弹性模型的扩展，以利用第一作者近期发展的技术描述具有分数阶非局部性与分形特征的材料。我们从积分关系出发，假设幂律型的弱非局部性，借助波矢空间中的分数阶泰勒级数，推导了三维连续体梯度弹性理论的推广，得到含分数阶拉普拉斯项的本构关系。随后，我们考虑具有非整数阶分数阶导数的非线性场方程，在弱非局部性近似框架下描述具有幂律长程相互作用的梯度材料的非线性弹性效应。我们所详述的特殊本构关系，可构成发展梯度塑性变形理论之分数阶扩展的基础。利用微扰方法，当扰动由对线性弹性的微弱偏离或分数阶梯度非局部性引起时，我们得到了线性分数阶梯度弹性本构关系的修正项。最后我们讨论由非整数维空间连续体模型描述的分形材料。利用近期提出的非整数维空间矢量微积分，我们考虑分形梯度弹性问题。