分数晶格动力学：由幂律矩阵函数及其分数连续极限核产生的非局部本构行为

我们在谐波近似中引入正弹性势，通过哈密顿变分原理导出分数拉普拉斯矩阵，其具有简单局部 Born-von Karman 拉普拉斯算子的幂律矩阵函数形式。分数拉普拉斯矩阵在 $n=1,2,3,..$ 维周期与无限晶格上有良好定义。本方法将中心对称二阶差分算子（Born von Karman 拉普拉斯算子）推广至其分数中心对称对应物（分数拉普拉斯矩阵）。对于 Born von Karman 拉普拉斯算子的非整数次幂，分数拉普拉斯矩阵是非对角的，处处具有非零矩阵元，对应于非局部行为：对于大晶格，远离对角线的矩阵元呈现幂律渐近，导致 Riesz 分数导数类型的连续极限核。我们给出了在一维有限周期与无限线性链及其 Riesz 分数导数连续极限核的分数拉普拉斯矩阵的显式结果。该方法在 $\alpha=2$ 时恢复众所周知的经典 Born von Karman 线性链（一维晶格），具有局部近邻弹簧，在众所周知的经典局部标准弹性连续极限中导出，而对于其他整数次幂则导出梯度弹性。我们还给出了分数拉普拉斯矩阵到 n 维立方周期（n 维环面）与无限晶格的推广。对于无限 n 维晶格，我们推导出一个方便的积分表示。我们证明了我们的分数晶格方法是生成物理上可容许的非局部晶格材料模型及其连续表示的强大工具。