二维分数阶离散非线性薛定谔方程：色散关系、怪波、基态和涡旋孤子

我们引入了二维分数阶晶格介质的新物理模型，该模型考虑了分数阶格点间耦合与格点内自聚焦的相互作用。我们的方法基于对连续Riesz分数阶导数的适当修改定义，提出了新颖的离散分数阶算子。二维各向同性晶格模型采用离散分数阶拉普拉斯算子，而二维各向异性模型则包含沿正交方向独立作用且具有不同Lévy指数(LIs)的离散分数阶导数。我们推导了精确的线性色散关系(DRs)，并确定了允许线性模式存在的谱带，发现它们与连续对应情况相似，只是波数范围不同。此外，我们详细研究了离散模型中的调制不稳定性，与线性DRs类似，发现其与连续模型中的情况一致。这种一致性凸显了我们新定义的离散分数阶导数的性质。同时，利用高斯输入，我们产生了各种怪波模式。通过数值方法，我们系统地构建了二维基态和涡旋孤子族，并检验了它们的稳定性。基态孤子由于相互作用的离散性而保持稳定，从而防止了临界和超临界塌缩的发生。另一方面，各向同性晶格模型中的涡旋孤子是不稳定的。然而，各向异性模型——特别是其对称版本，即两个方向上的Lévy指数相等——能够维持具有绕数$S=1$和$S=3$的稳定涡旋孤子。详细结果强调了新定义的离散分数阶导数在二维晶格介质中支持明确定义的孤子模式的鲁棒性。