由矩阵函数生成的非局部本构律：晶格动力学模型及其连续统极限

我们分析了一维离散和准连续线性链，该链包含 $N>>1$ 个等间距且相同的质量点，具有周期性边界条件，并在谐波近似下具有广义非局部粒子间相互作用。我们引入了弹性势，通过哈密顿原理定义了离散的“拉普拉斯算子”（“拉普拉斯矩阵”），它们是具有近邻相互作用的 Born-von-Karman 线性链拉普拉斯算子的算子函数（$N\times N$ 矩阵函数）。当前模型本构律的非局部性是这些拉普拉斯矩阵函数在粒子位移场的 $N$ 维向量空间中非对角性的自然结果，其中保持了周期性边界条件（循环边界条件）以及线性链的（Bloch-）本征向量。在准连续统极限（长波极限）下，拉普拉斯矩阵产生了非局部本构律的“拉普拉斯卷积核”（以及相关的弹性模量核）。弹性势的正定性保证了弹性稳定性。我们建立了本构行为“弱”和“强”非局部性的判据，这些判据可以通过当粒子间距 $h\rightarrow 0$ 时连续统极限中材料常数的缩放行为来控制。该方法提供了一种通过“简单”拉普拉斯矩阵函数生成物理上可容许（弹性稳定）非局部本构律的通用方法。该模型可推广至物理空间 $n=2,3,..$ 维的非局部性建模。