自相似拉普拉斯算子生成的 n 维空间反常扩散方法

我们分析了一种具有自相似分布谐振荡粒子间弹簧的准连续线性链，正如最近在一维中所引入的那样（Michelitsch 等，Phys. Rev. E 80, 011135 (2009)）。我们定义了一维的连续极限，并将其推广到物理空间的$n=1,2,3,..$维。应用哈密顿（变分）原理，随后定义了$n$维空间的自相似且因此非局部的拉普拉斯算子，我们证明了其椭圆性及其与分数阶拉普拉斯算子$-(-\Delta)^\frac{\alpha}{2}$的一致性（相差一个严格正的前置因子）。通过使用该拉普拉斯算子，我们建立了 Fokker-Planck 扩散方程：我们表明该拉普拉斯算子生成了空间各向同性的 L\'evi 稳定分布，对应于$n$维中的 L\'evi 飞行。在大标度时间极限$\sim t/r^{\alpha} >>1$下，所获得的分布表现出代数衰减$\sim t^{-\frac{n}{\alpha}} \rightarrow 0$，且与初始分布和空间点无关。这种普适标度仅取决于物理空间维数$n$与 L\'evi 参数$\alpha$的比值$n/\alpha$。