具重尾平衡态的 Fokker-Planck 方程的分数的扩散：任意维的类 Koch 谱方法

在本文中，我们将 [Dechicha and Puel, 2023] 中发展的谱方法推广到任意维 $d\geqslant 1$，以构造形式为 $(1+|v|^2)^{-\frac{\beta}{2}}$、在 $\beta \in ]d,d+4[$ 范围内的具重尾平衡态的 Fokker-Planck 算子的特征解。一维中发展的方法受 H. Koch 关于非线性 KdV 方程的工作 [Koch, Nonlinearity, 2015] 启发。本文中的策略与一维相同但工具不同，因为一维基于 ODE 方法。作为我们构造的直接结果，我们得到了动理 Fokker-Planck 方程对正确密度 $\rho := \int_{\mathbb{R}^d} f \mathrm{d}v$ 的分数阶扩散极限，其中含有分数阶拉普拉斯 $\kappa(-\Delta_x)^{\frac{\beta-d+2}{6}}$ 和正扩散系数 $\kappa$。