局部分数阶动力学的新颖激发

作为一个更真实地理解复杂系统涌现的框架，分数型动力学是否可能直接从常规整数阶动力学以连续过渡或形变的形式激发和涌现，是一个引人关注的重要问题。尽管在非线性（无论分数与否）动力系统方面已有大量研究，上述问题的系统性探讨在当前文献中似乎仍属空白。本工作可视为朝此方向迈进的一步。基于新颖的渐近对偶结构概念，我们在此给出一个扩展分析框架，该框架为在分形与分数空间上实现上述整数阶动力学到局部分数阶动力学的连续形变提供了一幅图景。我们引入了自对偶与严格对偶渐近的相关概念，并指出其与实线光滑与非光滑形变的联系。考察了对偶结构与重整化群的关系。证明了普通导数算子在此对偶使能的重整化群变换下不变，从而在分形空间中自然实现了局部分数型导数。作为应用，我们讨论了一维与二维线性波动方程，并展示底层的整数阶波动方程如何被适当形变与重整化，以给出分形弦振动或具分形边界区域中波传播的有意义结果。