图的合成积与冠积的固定集

图 $G$ 的一个固定集 $\mathcal{F}$ 是指 $G$ 的这样一个顶点集合：当为其顶点赋予互异标签时，除恒等自同构外消除了图的所有自同构。图 $G$ 的固定数，记为 $fix(G)$，是指 $G$ 的固定集的最小基数。本文研究两个图 $G_1$ 与 $G_2$（阶分别为 $m$ 和 $n$）的合成积 $G_1[G_2]$ 与冠积 $G_1 \odot G_2$ 的固定数。我们证明：对于连通图 $G_1$ 与具有 $l\geq 1$ 个分支 $G_2^1$, $G_2^2$, ... $G_2^l$ 的任意图 $G_2$，有 $mn-1\geq fix(G_1[G_2])\geq m\left(\sum \limits_{i=1}^{l} fix(G_2^i )\right)$。对于一个连通图 $G_1$ 与并非非对称的任意图 $G_2$，我们证明 $fix(G_1\odot G_2)=m fix( G_2)$。进而，对于任意连通图 $G_{1}$ 与任意图 $G_{2}$，我们证明 $fix(G_1\odot G_2)= max\{fix(G_1), m fix(G_2)\}$。