关于秩为三的有限置换群

秩为 $3$ 的有限本原置换群的分类在 1980 年代已完成，这一里程碑式的成果有着广泛的应用。在一般传递情形下，Higman 的一个经典结果表明，每个秩 $3$ 的有限非本原置换群 $G$ 都有唯一的非平凡区组系统 $\mathcal{B}$，这为分析这些群提供了一种自然的划分方式。事实上，诱导置换群 $G^{\mathcal{B}}$ 是 $2$-传递的，并且也可证明在 $\mathcal{B}$ 中每个区组上诱导的作用也是 $2$-传递的（因此两个诱导群均为仿射型或几乎单型）。本文通过研究 $G$ 在 $\mathcal{B}$ 中一个区组上的诱导作用为仿射型的情况，在秩 $3$ 非本原群的分类上取得了进展。我们的主要定理将这些秩 $3$ 群分为四类，其定义基于 $G$ 在 $\mathcal{B}$ 上作用的核。特别地，我们完全确定了 $G^{\mathcal{B}}$ 为几乎单型的秩 $3$ 半本原群，推广了 Baykalov、Devillers 和 Praeger 的近期工作。我们还证明了：若 $G$ 是秩 $3$ 半本原群且 $G^{\mathcal{B}}$ 为仿射型，则 $G$ 有一个正则正规子群，它是某个素数 $p$ 的特殊 $p$-群。