标准表示的扩张：关于奇异编织群的拓展

对于整数 $n\geq 2$,设 $B_n$ 为 $n$ 股编织群，$SB_n$ 为 $n$ 股奇异编织群。$SB_n$ 是 1998 年出现的 $B_n$ 的重要群扩张。本文旨在将已知的标准表示 $\rho_S:B_n \to GL_n(\mathbb{Z}[t^{\pm 1}])$ 扩展到 $SB_n$，并研究这些扩张表示的特性。本文的首要发现是我们确定所有形式为 $\rho'_S: SB_n \to GL_n(\mathbb{Z}[t^{\pm 1}])$ 的 $SB_n$ 表示，即那些扩展 $\rho_S$ 的表示，适用于所有 $n\geq 2$。第二个主要发现是我们找到了 $\rho'_S$ 形式的 $SB_n$ 表示不可约性的必要且充分条件。我们证明，当 $t\neq 1$ 时，形式为 $\rho'_S$ 的表示是不可约的；当 $t=1$ 时，形式为 $\rho'_S$ 的表示当且仅当 $a+c\neq 1$ 时是不可约的。第三个主要结果是我们考虑 $n$ 股虚拟奇异编织群 $VSB_n$，它是 $B_n$ 和 $SB_n$ 的群扩张，我们确定所有形式为 $\rho''_S: VSB_2 \to GL_2(\mathbb{Z}[t^{\pm 1}])$ 的表示，即那些扩展 $\rho_S$ 和 $\rho'_S$ 的表示；为寻找所有形式为 $\rho''_S: VSB_n \to GL_n(\mathbb{Z}[t^{\pm 1}])$ 的表示，即那些扩展 $\rho_S$ 和 $\rho'_S$ 的表示，适用于所有 $n\geq 3$ 制定了路径。