三角群表示及其某些延伸

本文研究了三角群$L_n$的表示，其中$n$为正整数，及其扩展到虚拟三角群$VL_n$和welded三角群$WL_n$。我们首先介绍$L_n$、其扩展及其纯子群。随后我们考察几种表示，证明了经典Tits表示$\Theta: L_n \to \mathrm{GL}_{n-1}(\mathbb{C})$在复数域$\mathbb{C}$上的不可约性，并构造了新的表示$\mu: L_n \to \mathrm{Aut}(\mathbb{F}_n)$，其中$\mathbb{F}_n$为秩为$n$的免费群。对于表示$\mu$，我们确定其矩阵形式、忠实性和不可约性。我们还对$n \ge 3$的所有复齐次$2$-局部表示的$L_n$以及$L_3$的所有非齐次$2$-局部表示进行分类，建立了与表示$\mu$的复数特化之间的联系。最后，我们考察了$L_n$表示向$VL_n$和$WL_n$的延伸，证明了其存在性，对非平凡的复数齐次$2$-局部表示进行了分类，并分析了它们的忠实性和不可约性。本文以关于进一步延伸$L_n$表示到$VL_n$和$WL_n$的开放问题作结。