对称群虚扩张的换位子子群与晶体商群

虚辫群 $VB_n$、虚孪群 $VT_n$ 与虚三元群 $VL_n$ 是对称群 $S_n$ 的扩张，其动机源于虚纽结理论中的 Alexander-Markov 对应。这些群到对称群 $S_n$ 的自然满同态的核分别为纯虚辫群 $VP_n$、纯虚孪群 $PVT_n$ 与纯虚三元群 $PVL_n$。本文研究这些群的换位子子群、纯子群与晶体商群。我们给出了纯虚三元群 $PVL_n$、 $VT_n$ 的换位子子群 $VT_n^{'}$ 以及 $VL_n$ 的换位子子群 $VL_n^{'}$ 的显式有限表示。我们的结果完善了对这些群的理解，除了 $VB_n^{'}$ 以外——对于 $n \ge 4$，其有限表示的存在性未知。我们还证明了 $VL_n/PVL_n^{'}$ 是一个晶体群，并显式构造了其中的无穷多个挠元。