小Coxeter群的同余子群与晶体学商群

小Coxeter群正是那些Tits表示为整表示的群，这使得对其同余子群的研究具有相关性。对称群$S_n$有三个自然扩张，即辫群$B_n$、孪生群$T_n$和三胞胎群$L_n$。后两个群是小Coxeter群，并在适当纽结理论的Alexander-Markov对应下扮演辫群的角色，其纯子群允许合适的超平面排列作为Eilenberg-MacLane空间。在本文中，我们证明了同余子群性质对于非几乎交换的无限小Coxeter群不成立。作为一个应用，我们推导出当$n \ge 4$时，同余子群性质对$T_n$和$L_n$均不成立。我们还确定了$T_n$的主同余子群的子商，并将纯孪生群$PT_n$和纯三胞胎群$PL_n$与合适的主同余子群等同起来。此外，我们研究了这两族小Coxeter群的晶体学商群，并证明了$T_n /PT_n^{'}$、$T_n/T_n^{''}$和$L_n /PL_n^{'}$是晶体学群。我们还确定了这些群的晶体学维数，并识别了$T_n/T_n^{''}$的和乐表示。